Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 7)}^{2}$ , $[6, 9]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[6, 9]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{6}^{9} {(x - 7)}^{2} d x)$

Étape 5

Laissez $u = x - 7$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x - 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 5.1.4

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 7$ .

$u_{lower} = 6 - 7$

Étape 5.3

Soustrayez $7$ de $6$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 7$ .

$u_{upper} = 9 - 7$

Étape 5.5

Soustrayez $7$ de $9$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Étape 7.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Étape 7.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Étape 7.2.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Étape 7.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8 + 1}{3})$

Étape 7.2.7

Additionnez $8$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{9}{3})$

Étape 7.2.8

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 7.2.8.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

Étape 7.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

Étape 7.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

Étape 7.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3}{1})$

Étape 7.2.8.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (3)$

Étape 8

Soustrayez $6$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 1$

Étape 10