Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x)$

Étape 5

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 5.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 5.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $e^{u}$ sur $1$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Simplifiez

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

Étape 7.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

Étape 8.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

Étape 9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

Étape 10

Multipliez $\frac{2}{π}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Étape 12

Associez $\frac{2}{π}$ et $e$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Étape 13

Multipliez $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

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Étape 13.1

Associez $\frac{2}{π}$ et $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

Étape 15