Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} \cos (x)$

Étape 1

Écrivez $x^{3} \cos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} \cos (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{3} \cos (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - \int \sin (x) (3 x^{2}) d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} \sin (x) - (3 \int \sin (x) (x^{2}) d x)$

Étape 6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 \int \sin (x) (x^{2}) d x$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x)$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x)$

Étape 9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x))$

Étape 10

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x)$

Étape 11

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x))$

Étape 12

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)))$

Étape 13

Réécrivez $x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)))$ comme $x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{3} \cos (x)$ .

$F (x) =$ $x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$