Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 5.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 5.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1 - 1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.6.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 (0)}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{0} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.8

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.10

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.11

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.13.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.13.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.14

Remettez dans l’ordre $7$ et $- 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} + 7 - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 6.15

Déplacez $7$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} + 7 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int - 3 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Étape 8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (- 3 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Étape 10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 d x)$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{1}{4} (- \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$