Calcul infinitésimal Exemples

$6 \cos^{3} (2 x)$

Étape 1

Écrivez $6 \cos^{3} (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = 6 \cos^{3} (2 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 6 \cos^{3} (2 x) d x$

Étape 4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \cos^{3} (2 x) d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$6 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 6

Associez $\cos^{3} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{6}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 8.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9

Factorisez $\cos^{2} (u_{1})$ .

$3 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ comme $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$3 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , donc $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Étape 11.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$3 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$3 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$3 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Étape 16

Simplifiez

$3 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (u_{1})$ .

$3 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$3 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Associez $\sin^{3} (2 x)$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sin (2 x) + 3 (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Étape 18.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 18.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ dans le numérateur.

$3 \sin (2 x) + 3 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Étape 18.3.2

Annulez le facteur commun.

$3 \sin (2 x) + 3 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Étape 18.3.3

Réécrivez l’expression.

$3 \sin (2 x) - \sin^{3} (2 x) + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 6 \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $3 \sin (2 x) - \sin^{3} (2 x) + C$