Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{(1 - x^{2})}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{(1 - x^{2})}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{(1 - x^{2})}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{1 - x^{2}} d x$

Étape 4

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 4.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 4.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - x^{2}}$

Étape 4.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Étape 4.1.3

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Étape 4.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 4.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 4.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 4.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.7.1.2

Divisez $(A) (1 - x)$ par $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.7.3

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.7.5

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 4.1.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Étape 4.1.7.5.2

Divisez $(B) (1 + x)$ par $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Étape 4.1.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Étape 4.1.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Étape 4.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.8.1

Déplacez $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 4.1.8.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Étape 4.1.8.3

Déplacez $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Étape 4.1.8.4

Déplacez $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Étape 4.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 4.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 1 A + B$

Étape 4.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A + B$

Étape 4.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Étape 4.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = A + B$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Étape 4.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Étape 4.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1 - B$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 1 A + B$ par $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (1 - B) + B$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- B)$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 1 + 2 B$ .

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Étape 4.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 1 - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.4.2.1

Simplifiez $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Étape 4.3.4.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.4.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.4.2.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 4.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 4.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Étape 4.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Étape 4.5.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 - x}$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 7

Laissez $u_{1} = 1 + x$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 7.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 10.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 14.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |) + C$