Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (3 x) + \cos (3 x)$

Étape 1

Écrivez $\sin (3 x) + \cos (3 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (3 x) + \cos (3 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (3 x) + \cos (3 x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin (3 x) d x + \int \cos (3 x) d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 x) d x$

Étape 6

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 x) d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 x) d x$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (3 x) d x$

Étape 9

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 9.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 10

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (3 x) + \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$