Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 \sqrt{x} + 4 x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3 \sqrt{x} + 4 x^{2}}{x^{4}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3 \sqrt{x} + 4 x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3 \sqrt{x} + 4 x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{3 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 4.1.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 4 x^{2}}{x^{4}} d x$

Étape 4.1.2.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{x^{4}} d x$

Étape 4.1.2.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + 4 x^{\frac{3}{2}})}{x^{4}} d x$

Étape 4.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{3 + 4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{4} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{3 + 4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{4 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{3 + 4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{3 + 4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{3 + 4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{4 \cdot 2 - 1}{2}}} d x$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\int \frac{3 + 4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{8 - 1}{2}}} d x$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\int \frac{3 + 4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{7}{2}}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{\frac{7}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (3 + 4 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{7}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 + 4 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{7}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.2.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $- 1$ .

$\int (3 + 4 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{7 \cdot - 1}{2}} d x$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\int (3 + 4 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 7}{2}} d x$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (3 + 4 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{7}{2}} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 3 + 4 x^{\frac{3}{2}}$ . Alors $d u_{1} = 6 x^{\frac{1}{2}} d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{\frac{1}{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 3 + 4 x^{\frac{3}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $3 + 4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 4 x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.1.2

Différenciez.

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Étape 6.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 4 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 6.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 6.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 6.1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$0 + 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.1.3.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6.1.3.8

Associez $4$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 6.1.3.9

Multipliez $3$ par $4$ .

$0 + \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6.1.3.10

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 6.1.3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + \frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Étape 6.1.3.11.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3.11.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Étape 6.1.3.11.4

Divisez $6 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$0 + 6 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.1.4

Additionnez $0$ et $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int u_{1} {(\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{- 8}{2}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\int u_{1} {(\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{2 \cdot - 4}{2}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 7.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int u_{1} {(\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 7.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int u_{1} {(\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 7.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int u_{1} {(\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{- 4}{1}} \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 7.1.1.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$\int u_{1} {(\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}})}^{- 4} \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 7.1.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} {(\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}})}^{- 4} d u_{1}$

Étape 7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{({(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}})}^{- 4}}{{(4^{\frac{2}{3}})}^{- 4}} d u_{1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}})}^{- 4}$ .

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Étape 7.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3} \cdot - 4}}{{(4^{\frac{2}{3}})}^{- 4}} d u_{1}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 4$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 4$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{2 \cdot - 4}{3}}}{{(4^{\frac{2}{3}})}^{- 4}} d u_{1}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{- 8}{3}}}{{(4^{\frac{2}{3}})}^{- 4}} d u_{1}$

Étape 7.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{- \frac{8}{3}}}{{(4^{\frac{2}{3}})}^{- 4}} d u_{1}$

Étape 7.3.2

Multipliez les exposants dans ${(4^{\frac{2}{3}})}^{- 4}$ .

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Étape 7.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{- \frac{8}{3}}}{4^{\frac{2}{3} \cdot - 4}} d u_{1}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 4$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 4$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{- \frac{8}{3}}}{4^{\frac{2 \cdot - 4}{3}}} d u_{1}$

Étape 7.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{- \frac{8}{3}}}{4^{\frac{- 8}{3}}} d u_{1}$

Étape 7.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{- \frac{8}{3}}}{4^{- \frac{8}{3}}} d u_{1}$

Étape 7.3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{{(- 3 + u_{1})}^{- \frac{8}{3}}}{\frac{1}{4^{\frac{8}{3}}}} d u_{1}$

Étape 7.3.4

Placez ${(- 3 + u_{1})}^{- \frac{8}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4^{\frac{8}{3}}} {(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}} d u_{1}$

Étape 7.3.5

Associez $\frac{1}{4^{\frac{8}{3}}}$ et ${(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{1}{\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}}{4^{\frac{8}{3}}}} d u_{1}$

Étape 7.3.6

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}}{4^{\frac{8}{3}}}$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} (1 \frac{4^{\frac{8}{3}}}{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}}) d u_{1}$

Étape 7.3.7

Multipliez $\frac{4^{\frac{8}{3}}}{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}}$ par $1$ .

$\int \frac{u_{1}}{6} \cdot \frac{4^{\frac{8}{3}}}{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}} d u_{1}$

Étape 7.3.8

Multipliez $\frac{u_{1}}{6}$ par $\frac{4^{\frac{8}{3}}}{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}}$ .

$\int \frac{u_{1} \cdot 4^{\frac{8}{3}}}{6 {(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}} d u_{1}$

Étape 8

Comme $\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int \frac{u_{1}}{{(- 3 + u_{1})}^{\frac{8}{3}}} d u_{1}$

Étape 9

Laissez $u_{2} = - 3 + u_{1}$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = - 3 + u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $- 3 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- 3 + u_{1}]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 + u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [- 3] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- 3] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 9.1.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 9.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 9.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int \frac{u_{2} + 3}{{u_{2}}^{\frac{8}{3}}} d u_{2}$

Étape 10

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.1

Retirez ${u_{2}}^{\frac{8}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int (u_{2} + 3) {({u_{2}}^{\frac{8}{3}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 10.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int (u_{2} + 3) {u_{2}}^{\frac{8}{3} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 10.2.2

Multipliez $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 10.2.2.1

Associez $\frac{8}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int (u_{2} + 3) {u_{2}}^{\frac{8 \cdot - 1}{3}} d u_{2}$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int (u_{2} + 3) {u_{2}}^{\frac{- 8}{3}} d u_{2}$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int (u_{2} + 3) {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2}$

Étape 11

Développez $(u_{2} + 3) {u_{2}}^{- \frac{8}{3}}$ .

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} + 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2}$

Étape 11.2

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int {u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} + 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2}$

Étape 11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int {u_{2}}^{1 - \frac{8}{3}} + 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2}$

Étape 11.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{3} - \frac{8}{3}} + 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2}$

Étape 11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3 - 8}{3}} + 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2}$

Étape 11.6

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int {u_{2}}^{\frac{- 5}{3}} + 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2}$

Étape 11.7

Remettez dans l’ordre ${u_{2}}^{\frac{- 5}{3}}$ et $3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} + {u_{2}}^{\frac{- 5}{3}} d u_{2}$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \int 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} + {u_{2}}^{- \frac{5}{3}} d u_{2}$

Étape 13

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (\int 3 {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{5}{3}} d u_{2})$

Étape 14

Comme $3$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (3 \int {u_{2}}^{- \frac{8}{3}} d u_{2} + \int {u_{2}}^{- \frac{5}{3}} d u_{2})$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{8}{3}}$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{3}{5} {u_{2}}^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (3 (- \frac{3}{5} {u_{2}}^{- \frac{5}{3}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{5}{3}} d u_{2})$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez ${u_{2}}^{- \frac{5}{3}}$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (3 (- \frac{{u_{2}}^{- \frac{5}{3}} \cdot 3}{5} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{5}{3}} d u_{2})$

Étape 16.2

Déplacez $3$ à gauche de ${u_{2}}^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (3 (- \frac{3 \cdot {u_{2}}^{- \frac{5}{3}}}{5} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{5}{3}} d u_{2})$

Étape 16.3

Placez ${u_{2}}^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (3 (- \frac{3}{5 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}} + C) + \int {u_{2}}^{- \frac{5}{3}} d u_{2})$

Étape 17

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{5}{3}}$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{3}{2} {u_{2}}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (3 (- \frac{3}{5 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}} + C) - \frac{3}{2} {u_{2}}^{- \frac{2}{3}} + C)$

Étape 18

Simplifiez

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 {u_{2}}^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2 {u_{2}}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 19

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 19.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 3 + u_{1}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 {(- 3 + u_{1})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2 {(- 3 + u_{1})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 19.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 + 4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 {(- 3 + 3 + 4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2 {(- 3 + 3 + 4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Associez les termes opposés dans $- \frac{9}{5 {(- 3 + 3 + 4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2 {(- 3 + 3 + 4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}$ .

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Étape 20.1.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 {(0 + 4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2 {(- 3 + 3 + 4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.1.2

Additionnez $0$ et $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2 {(- 3 + 3 + 4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.1.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2 {(0 + 4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.1.4

Additionnez $0$ et $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{3}{2 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 20.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 (4^{\frac{5}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}})} - \frac{3}{2 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 20.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 (4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}})} - \frac{3}{2 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 20.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 (4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}})} - \frac{3}{2 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 (4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 5})} - \frac{3}{2 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 (4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}})} - \frac{3}{2 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 {(4 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}}) + C$

Étape 20.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 20.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $4 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 (4^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}})}) + C$

Étape 20.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 20.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 (4^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}})}) + C$

Étape 20.2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 20.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 (4^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}})}) + C$

Étape 20.2.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 (4^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}) + C$

Étape 20.2.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 (4^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2})}) + C$

Étape 20.2.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 (4^{\frac{2}{3}} x^{1})}) + C$

Étape 20.2.2.3

Simplifiez

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 \cdot 4^{\frac{2}{3}} x}) + C$

Étape 20.2.2.4

Associez les exposants.

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Étape 20.2.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{2}{3}} x}) + C$

Étape 20.2.2.4.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 20.2.2.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{2}{3})} x}) + C$

Étape 20.2.2.4.2.2

Multipliez $2 (\frac{2}{3})$ .

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Étape 20.2.2.4.2.2.1

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{3}} x}) + C$

Étape 20.2.2.4.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2 \cdot 2^{\frac{4}{3}} x}) + C$

Étape 20.2.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2^{1 + \frac{4}{3}} x}) + C$

Étape 20.2.2.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}} x}) + C$

Étape 20.2.2.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{3 + 4}{3}} x}) + C$

Étape 20.2.2.4.6

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.4

Annulez le facteur commun de $4^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 20.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \cdot \frac{- 9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.4.2

Factorisez $4^{\frac{5}{3}}$ à partir de $4^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{4^{\frac{5}{3}} \cdot 4^{\frac{3}{3}}}{6} \cdot \frac{- 9}{5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.4.3

Factorisez $4^{\frac{5}{3}}$ à partir de $5 \cdot 4^{\frac{5}{3}} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4^{\frac{5}{3}} \cdot 4^{\frac{3}{3}}}{6} \cdot \frac{- 9}{4^{\frac{5}{3}} (5 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{\frac{5}{3}} \cdot 4^{\frac{3}{3}}}{6} \cdot \frac{- 9}{4^{\frac{5}{3}} (5 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4^{\frac{3}{3}}}{6} \cdot \frac{- 9}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 20.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}}}{3 (2)} \cdot \frac{- 9}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}}}{3 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot - 3}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{\frac{3}{3}}}{3 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot - 3}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4^{\frac{3}{3}}}{2} \cdot \frac{- 3}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.6

Multipliez $\frac{4^{\frac{3}{3}}}{2}$ par $\frac{- 3}{5 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{2 (5 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} (- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}) + C$

Étape 20.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 20.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2^{\frac{7}{3}} x}$ dans le numérateur.

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{6} \cdot \frac{- 3}{2^{\frac{7}{3}} x} + C$

Étape 20.8.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{3 (2)} \cdot \frac{- 3}{2^{\frac{7}{3}} x} + C$

Étape 20.8.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{3 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{2^{\frac{7}{3}} x} + C$

Étape 20.8.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{3 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot - 1}{2^{\frac{7}{3}} x} + C$

Étape 20.8.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}}}{2} \cdot \frac{- 1}{2^{\frac{7}{3}} x} + C$

Étape 20.9

Multipliez $\frac{4^{\frac{8}{3}}}{2}$ par $\frac{- 1}{2^{\frac{7}{3}} x}$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2 (2^{\frac{7}{3}} x)} + C$

Étape 20.10

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{7}{3}} \cdot 2^{1} x} + C$

Étape 20.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{7}{3} + 1} x} + C$

Étape 20.12

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{7}{3} + \frac{3}{3}} x} + C$

Étape 20.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{7 + 3}{3}} x} + C$

Étape 20.14

Additionnez $7$ et $3$ .

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.15.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 20.15.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4^{\frac{3}{3}} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4^{1} \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \cdot - 3}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{- 12}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.4

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$\frac{2 (- 6)}{10 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.15.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (- 6)}{2 (5 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 6}{2 (5 x^{\frac{5}{2}})} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{4^{\frac{8}{3}} \cdot - 1}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.15.7.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $4^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{6}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 1 \cdot 4^{\frac{8}{3}}}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.7.2

Réécrivez $- 1 \cdot 4^{\frac{8}{3}}$ comme $- 4^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{6}{5 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{- 4^{\frac{8}{3}}}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.15.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{5 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{4^{\frac{8}{3}}}{2^{\frac{10}{3}} x} + C$

Étape 20.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{6}{5 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{4^{\frac{8}{3}}}{2^{\frac{10}{3}} x}$ .

$- \frac{6}{5 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{4^{\frac{8}{3}}}{x \cdot 2^{\frac{10}{3}}} + C$

Étape 21

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3 \sqrt{x} + 4 x^{2}}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{6}{5 x^{\frac{5}{2}}} - \frac{4^{\frac{8}{3}}}{x \cdot 2^{\frac{10}{3}}} + C$