Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 4

Laissez $x = 4 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 4 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.1.3

Factorisez $16$ à partir de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.1.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6

Réécrivez $16 \cos^{2} (t)$ comme ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $4 \cos (t)$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int {(4 \sin (t))}^{2} d t$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin (t)$ .

$\int {(4 (\sin (t)))}^{2} d t$

Étape 5.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $4 (\sin (t))$ .

$\int 4^{2} \sin^{2} (t) d t$

Étape 5.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int 16 \sin^{2} (t) d t$

Étape 6

Comme $16$ est constant par rapport à $t$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$16 \int \sin^{2} (t) d t$

Étape 7

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (t)$ en $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$16 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $16$ .

$\frac{16}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 9.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$8 \int 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$8 (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$8 (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Étape 13

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 13.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$8 (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 14

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 15

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Étape 16

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$8 (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 17

Simplifiez

$8 (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 18.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Associez $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 19.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Étape 19.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}$ dans le numérateur.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 19.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 (4) \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 19.3.3

Annulez le facteur commun.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 \cdot 4 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Étape 19.3.4

Réécrivez l’expression.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 4 (- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Étape 19.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Étape 20

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Étape 21

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$