Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = - \frac{1}{x}$ . Alors $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , donc $x^{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - \frac{1}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Étape 4.1.3.5.2

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x^{- 2}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + C$

Étape 7

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- \frac{1}{x}} + C$