Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Étape 5

Laissez $u = 3 + \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 3 + \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 5.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 5.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Étape 5.1.4

Soustrayez $\sin (x)$ de $0$ .

$- \sin (x)$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

$- 4 \ln (| u |) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 + \cos (x)$ .

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$