Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 5.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 6

Factorisez $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 7

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (t)$ comme $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 8

Laissez $u = \cos (t)$ . Alors $d u = - \sin (t) d t$ , donc $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 9

Multipliez $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réécrivez $- 1 u^{2}$ comme $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 10.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 10.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 15.2

Simplifiez

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (t)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$