Calcul infinitésimal Exemples

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ comme $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Étape 4.2

Développez $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Étape 4.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Étape 4.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Étape 4.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Étape 4.3.3

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Étape 4.4

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 4.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

Étape 4.6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

Étape 4.6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

Étape 7

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 8

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Étape 10

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$