Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{3 x} + 1$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{3 x} + 1$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{3 x} + 1$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{3 x} + 1 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sqrt{3 x} d x + \int d x$

Étape 5

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u + \int d x$

Étape 6

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u + \int d x$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + x + C$

Étape 11

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Étape 11.1

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$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + x + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + x + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + x + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + x + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{3 x} + 1$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + x + C$