Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} d x$

Étape 4

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{9 + {(x^{3})}^{2}} d x$

Étape 5

Laissez $u = x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 6

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{9 + u^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(9 + u^{2}) \cdot 3} d u$

Étape 6.2

Déplacez $3$ à gauche de $9 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 (9 + u^{2})} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{9 + u^{2}} d u$

Étape 8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3^{2} + u^{2}} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{3^{2} + u^{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arctan (\frac{u}{3})$ .

$\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$

Étape 10.2

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Étape 10.3

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{2}}{9 + x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} x^{3}) + C$