Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{\frac{x}{2}}$

Étape 1

Écrivez $x e^{\frac{x}{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x e^{\frac{x}{2}} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Étape 7

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 7.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

Étape 8.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

Étape 10

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

Étape 12

Réécrivez $x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ comme $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$