Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 4

Factorisez $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (x)$ comme $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 6

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 7

Multipliez $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $- 1 u^{2}$ comme $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 13.2

Simplifiez

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$