Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{3 x - 6}$

Étape 1

Écrivez $x \sqrt{3 x - 6}$ comme une fonction.

$f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \sqrt{3 x - 6} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sqrt{3 x - 6}$ .

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{2}{9}$ et ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5.2

Associez $x$ et $\frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 6

Comme $\frac{2}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 7

Laissez $u = 3 x - 6$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 3 x - 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $3 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 6]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

Étape 8

Associez $u^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 10.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 12

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Étape 12.1

Réécrivez $\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2

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Étape 12.2.1

Associez $\frac{2}{9}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2.2

Associez $\frac{2 x}{9}$ et ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2.3

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2.5

Multipliez $5$ par $27$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2.6

Pour écrire $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

Étape 12.2.7

Associez $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Étape 12.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Étape 12.2.9

Associez $u^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

Étape 12.2.10

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

Étape 12.2.11

Associez $- 9$ et $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

Étape 12.2.12

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

Étape 12.2.13

Factorisez $9$ à partir de $- 36 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

Étape 12.2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.14.1

Factorisez $9$ à partir de $135$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

Étape 12.2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

Étape 12.2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Étape 12.2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Étape 12.2.16

Pour écrire $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Étape 12.2.17

Associez $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{15}{15}$ .

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Étape 12.2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Étape 12.2.19

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Étape 12.2.20

Réécrivez $\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ comme un produit.

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

Étape 12.2.21

Multipliez $\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

Étape 12.2.22

Multipliez $15$ par $9$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 6$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$