Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) \tan^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin (x) \tan^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (x) \tan^{2} (x) d x$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

$\int - \sin (x) + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 9

Simplifiez $\sin (x) \sec^{2} (x)$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x$

Étape 9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 9.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 9.4

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 9.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} d x$

Étape 9.6

Séparez les fractions.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Étape 9.7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x$

Étape 9.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Étape 10

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\sec (x) \tan (x)$ , l’intégrale de $\sec (x) \tan (x)$ est $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \sec (x) + C$

Étape 11

Simplifiez

$\cos (x) + \sec (x) + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\cos (x) + \sec (x) + C$