Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 4.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $\ln (x)$ .

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int x^{2} \ln (x) d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 8.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{x^{3}}{3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 8.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Étape 12

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} \int x^{2} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 14

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Étape 14.1

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$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 14.2

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Étape 14.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C$

Étape 14.2.2

Multipliez $\frac{x^{3}}{3}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \cdot 4} + C$

Étape 14.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{12} + C$

Étape 14.2.4

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 \cdot x^{3}}{12} + C$

Étape 14.2.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

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Étape 14.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 (x^{3})}{12} + C$

Étape 14.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

Étape 14.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

Étape 14.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.6

Pour écrire $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.7

Associez $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4 - x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.9

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{4}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.10

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 14.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2}{1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Étape 14.2.10.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$