Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{π}{4} x) d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Alors $d u_{1} = \frac{π}{4} d x$ , donc $\frac{4}{π} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{4} x]$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{4} x$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u_{1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{π}{4}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \frac{4}{π}) d u_{1}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{4}{π}$ par $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{4}{π} d u_{1}$

Étape 5.3

Associez $\sin^{2} (u_{1})$ et $\frac{4}{π}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cdot 4}{π} d u_{1}$

Étape 5.4

Déplacez $4$ à gauche de $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Étape 6

Comme $\frac{4}{π}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{4}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{4}{π} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{π} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (π)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{2}{π} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 13

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 13.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 14

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 15

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 16

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 17

Simplifiez

$\frac{2}{π} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Étape 18.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Associez $\frac{π}{4}$ et $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

Étape 19.1.2

Associez $\frac{π}{4}$ et $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{4})) + C$

Étape 19.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 (2)})) + C$

Étape 19.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 \cdot 2})) + C$

Étape 19.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Étape 19.1.4

Associez $\sin (\frac{π x}{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Étape 19.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{4} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Étape 19.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 (2)} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Étape 19.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 \cdot 2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Étape 19.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Étape 19.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 19.4.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Étape 19.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Étape 19.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

Étape 19.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Étape 19.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

Étape 19.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} (- \sin (\frac{π x}{2})) + C$

Étape 19.6

Associez $\frac{1}{π}$ et $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{π} + C$

Étape 20

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$

Étape 21

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$