Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 4.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 4.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.4

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Étape 4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

Étape 4.4.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Retirez $x^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 7.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Étape 7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$