Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 - \frac{3}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = - \frac{3 x}{2} + 4$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(- \frac{3 x}{2} + 4)}^{2}$ comme $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Étape 2.2

Développez $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 4) + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $- \frac{3 x}{2} (- \frac{3 x}{2})$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = 1 (\frac{3 x}{2}) \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.2

Multipliez $\frac{3 x}{2}$ par $1$ .

$V = \frac{3 x}{2} \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.3

Multipliez $\frac{3 x}{2}$ par $\frac{3 x}{2}$ .

$V = \frac{3 x (3 x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$V = \frac{9 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = \frac{9 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x}{2}$ dans le numérateur.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 3 x \cdot 2 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x}{2}$ dans le numérateur.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (2) (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 x}{2})) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (- 3 x) + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 16$

Étape 2.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 12 x + 16$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{9 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Étape 4

Comme $\frac{9}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{9}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Étape 6.2

Associez $\frac{9}{4}$ et $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Étape 7

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 12$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Étape 11.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 x]_{0}^{1})$

Étape 11.3

Évaluez $16 x$ sur $1$ et sur $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4

Simplifiez

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Étape 11.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 11.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.5

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.6

Associez $9$ et $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{9}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.7

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 11.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{\frac{3}{1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.7.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 11.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} + 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.12

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.13

Associez $- 12$ et $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.14

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 11.4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.4.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.14.2.4

Divisez $- 6$ par $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.15

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.16

Associez $- 6$ et $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{3 - 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.18.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$V = π (\frac{3 - 24}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.18.2

Soustrayez $24$ de $3$ .

$V = π (\frac{- 21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.20

Multipliez $16$ par $1$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 - 16 \cdot 0)$

Étape 11.4.21

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 + 0)$

Étape 11.4.22

Additionnez $16$ et $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16)$

Étape 11.4.23

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4})$

Étape 11.4.24

Associez $16$ et $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4})$

Étape 11.4.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{- 21 + 16 \cdot 4}{4})$

Étape 11.4.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.26.1

Multipliez $16$ par $4$ .

$V = π (\frac{- 21 + 64}{4})$

Étape 11.4.26.2

Additionnez $- 21$ et $64$ .

$V = π (\frac{43}{4})$

Étape 11.4.27

Associez $π$ et $\frac{43}{4}$ .

$V = \frac{π \cdot 43}{4}$

Étape 11.4.28

Déplacez $43$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{43 π}{4}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{43 π}{4}$

Forme décimale :

$V = 33.77212102 \dots$

Étape 13