Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{4} x^{2}$ , $x = 2$ , $y = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \frac{x^{2}}{4}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x^{2}}{4}$ .

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{4^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{4^{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{4^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{16}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (\frac{1}{16} \cdot \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{16}$ et $π$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \int_{0}^{2} x^{4} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{5} x^{5}$ sur $2$ et sur $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 2^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $32$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

Étape 6.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0)$

Étape 6.2.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{32}{5} + 0 (\frac{1}{5}))$

Étape 6.2.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{32}{5} + 0)$

Étape 6.2.6

Additionnez $\frac{32}{5}$ et $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{32}{5}$

Étape 6.2.7

Multipliez $\frac{π}{16}$ par $\frac{32}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 32}{16 \cdot 5}$

Étape 6.2.8

Multipliez $16$ par $5$ .

$V = \frac{π \cdot 32}{80}$

Étape 6.2.9

Déplacez $32$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{32 \cdot π}{80}$

Étape 6.2.10

Annulez le facteur commun à $32$ et $80$ .

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Étape 6.2.10.1

Factorisez $16$ à partir de $32 π$ .

$V = \frac{16 (2 π)}{80}$

Étape 6.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.10.2.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$V = \frac{16 (2 π)}{16 (5)}$

Étape 6.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = \frac{16 (2 π)}{16 \cdot 5}$

Étape 6.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = \frac{2 π}{5}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{2 π}{5}$

Forme décimale :

$V = 1.25663706 \dots$

Étape 8