Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = x + 1$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$V = (x + 1) (x + 1)$

Étape 2.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$V = x^{2} + 2 x + 1$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ et $x]_{0}^{7}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $7$ et sur $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3} + x$ sur $7$ et sur $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.5

Additionnez $\frac{49}{2}$ et $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.6

Associez $2$ et $\frac{49}{2}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.7

Multipliez $2$ par $49$ .

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.8

Annulez le facteur commun à $98$ et $2$ .

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Étape 10.2.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $98$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.8.2.4

Divisez $49$ par $1$ .

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.9

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.10

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.11

Associez $7$ et $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.13.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.13.2

Additionnez $343$ et $21$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.14

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.15

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 10.2.3.15.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

Étape 10.2.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Étape 10.2.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Étape 10.2.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

Étape 10.2.3.15.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

Étape 10.2.3.16

Additionnez $0$ et $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

Étape 10.2.3.17

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

Étape 10.2.3.18

Additionnez $\frac{364}{3}$ et $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

Étape 10.2.3.19

Pour écrire $49$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

Étape 10.2.3.20

Associez $49$ et $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

Étape 10.2.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

Étape 10.2.3.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.22.1

Multipliez $49$ par $3$ .

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

Étape 10.2.3.22.2

Additionnez $147$ et $364$ .

$V = π (\frac{511}{3})$

Étape 10.2.3.23

Associez $π$ et $\frac{511}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

Étape 10.2.3.24

Déplacez $511$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{511 π}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{511 π}{3}$

Forme décimale :

$V = 535.11794866 \dots$

Étape 12