Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{3}{2}}$ , $y = 8$ , $x = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = 8$ et $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$V = 64 - {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 - x^{\frac{3}{2} \cdot 2}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$V = 64 - x^{\frac{3}{2} \cdot 2}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$V = 64 - x^{3}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{4} 64 d x + \int_{0}^{4} - x^{3} d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (64 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x^{3} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (64 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x^{3} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (64 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$V = π (64 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}))$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $64 x$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π ((64 \cdot 4) - 64 \cdot 0 - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}))$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π (64 \cdot 4 - 64 \cdot 0 - (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $64$ par $4$ .

$V = π (256 - 64 \cdot 0 - (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 64$ par $0$ .

$V = π (256 + 0 - (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.3

Additionnez $256$ et $0$ .

$V = π (256 - (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.4

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$V = π (256 - (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.5

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$V = π (256 - (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$V = π (256 - (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (256 - (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (256 - (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.5.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$V = π (256 - (64 - \frac{0^{4}}{4}))$

Étape 7.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (256 - (64 - \frac{0}{4}))$

Étape 7.2.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$V = π (256 - (64 - \frac{4 (0)}{4}))$

Étape 7.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$V = π (256 - (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Étape 7.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (256 - (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Étape 7.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (256 - (64 - \frac{0}{1}))$

Étape 7.2.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (256 - (64 - 0))$

Étape 7.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (256 - (64 + 0))$

Étape 7.2.3.9

Additionnez $64$ et $0$ .

$V = π (256 - 1 \cdot 64)$

Étape 7.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$V = π (256 - 64)$

Étape 7.2.3.11

Soustrayez $64$ de $256$ .

$V = π \cdot 192$

Étape 7.2.3.12

Déplacez $192$ à gauche de $π$ .

$V = 192 π$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = 192 π$

Forme décimale :

$V = 603.18578948 \dots$

Étape 9