Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - 3 x^{2} - 1$

Étape 1

Écrivez $x^{4} - 3 x^{2} - 1$ comme une équation.

$y = x^{4} - 3 x^{2} - 1$

Étape 2

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 2.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} - 3 x^{2} - 1$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} - 3 x^{2} - 1 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 3 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 2.2.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Étape 2.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 2.2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 2.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 2.2.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 3.30277563$

${(x^{2})}^{1} = - 0.30277563$

Étape 2.2.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 3.30277563$

Étape 2.2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3.30277563}$

Étape 2.2.11.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.11.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3.30277563}$

Étape 2.2.11.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3.30277563}$

Étape 2.2.11.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3.30277563}, - \sqrt{3.30277563}$

Étape 2.2.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 0.30277563$

Étape 2.2.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 0.30277563$

Étape 2.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 0.30277563}$

Étape 2.2.13.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 0.30277563}$ .

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Étape 2.2.13.3.1

Réécrivez $- 0.30277563$ comme $- 1 (0.30277563)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (0.30277563)}$

Étape 2.2.13.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (0.30277563)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.30277563}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.30277563}$

Étape 2.2.13.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{0.30277563}$

Étape 2.2.13.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.13.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{0.30277563}$

Étape 2.2.13.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{0.30277563}$

Étape 2.2.13.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{0.30277563}, - i \sqrt{0.30277563}$

Étape 2.2.14

La solution à $x^{4} - 3 x^{2} - 1 = 0$ est $x = \sqrt{3.30277563}, - \sqrt{3.30277563}, i \sqrt{0.30277563}, - i \sqrt{0.30277563}$ .

$x = \sqrt{3.30277563}, - \sqrt{3.30277563}, i \sqrt{0.30277563}, - i \sqrt{0.30277563}$

Étape 2.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{3.30277563}, 0), (- \sqrt{3.30277563}, 0)$

Étape 3

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 3.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} - 1$

Étape 3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{2} - 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{2} - 1$

Étape 3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} - 1$

Étape 3.2.4

Simplifiez ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} - 1$ .

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 1$

Étape 3.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 1$

Étape 3.2.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 1$

Étape 3.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Étape 3.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 4

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{3.30277563}, 0), (- \sqrt{3.30277563}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 5