Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{1 - \sin (x)}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 - \sin (x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$1 - \sin (x) \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \sin (x) \geq - 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) \leq 1$

Étape 2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x \leq \arcsin (1)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

Étape 2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Étape 2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.10.1.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$1 - \sin (5) \geq 0$

Étape 2.10.1.3

Le côté gauche $1.95892427$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.10.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vrai

Étape 2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$

Étape 4