Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 100 x (2 x + 3) (x - 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 x (2 x + 3) (x - 5)$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [(x (2 x + 3)) (x - 5)]$ .

$100 \frac{d}{d x} [(x (2 x + 3)) (x - 5)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x (2 x + 3)$ et $g (x) = x - 5$ .

$100 (x (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$100 (x (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$100 (x (2 x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$100 (x (2 x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$100 (x (2 x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x (2 x + 3)])$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x \frac{d}{d x} [2 x + 3] + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (2 + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x (2 + 0) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.5.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (x \cdot 2 + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (2 \cdot x + (2 x + 3) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (2 x + (2 x + 3) \cdot 1))$

Étape 1.1.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.5.8.1

Multipliez $2 x + 3$ par $1$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (2 x + 2 x + 3))$

Étape 1.1.5.8.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$100 (x (2 x + 3) + (x - 5) (4 x + 3))$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$100 (x (2 x) + x \cdot 3 + (x - 5) (4 x + 3))$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$100 (x (2 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 ((x - 5) (4 x + 3))$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$100 (x (2 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 ((x - 5) (4 x) + (x - 5) \cdot 3)$

Étape 1.1.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$100 (x (2 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (x (4 x) - 5 (4 x) + (x - 5) \cdot 3)$

Étape 1.1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$100 (x (2 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (x (4 x) - 5 (4 x) + x \cdot 3 - 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$100 (x (2 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (x (4 x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$100 (2 (x^{1} x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (x (4 x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$100 (2 (x^{1} x^{1})) + 100 (x \cdot 3) + 100 (x (4 x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$100 (2 x^{1 + 1}) + 100 (x \cdot 3) + 100 (x (4 x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$100 (2 x^{2}) + 100 (x \cdot 3) + 100 (x (4 x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.5

Multipliez $2$ par $100$ .

$200 x^{2} + 100 (x \cdot 3) + 100 (x (4 x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$200 x^{2} + 100 (3 \cdot x) + 100 (x (4 x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.7

Multipliez $3$ par $100$ .

$200 x^{2} + 300 x + 100 (x (4 x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$200 x^{2} + 300 x + 100 (4 (x^{1} x)) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$200 x^{2} + 300 x + 100 (4 (x^{1} x^{1})) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$200 x^{2} + 300 x + 100 (4 x^{1 + 1}) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$200 x^{2} + 300 x + 100 (4 x^{2}) + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.12

Multipliez $4$ par $100$ .

$200 x^{2} + 300 x + 400 x^{2} + 100 (- 5 (4 x)) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.13

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$200 x^{2} + 300 x + 400 x^{2} + 100 (- 20 x) + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.14

Multipliez $- 20$ par $100$ .

$200 x^{2} + 300 x + 400 x^{2} - 2000 x + 100 (x \cdot 3) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.15

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$200 x^{2} + 300 x + 400 x^{2} - 2000 x + 100 (3 \cdot x) + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.16

Multipliez $3$ par $100$ .

$200 x^{2} + 300 x + 400 x^{2} - 2000 x + 300 x + 100 (- 5 \cdot 3)$

Étape 1.1.6.7.17

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$200 x^{2} + 300 x + 400 x^{2} - 2000 x + 300 x + 100 \cdot - 15$

Étape 1.1.6.7.18

Multipliez $100$ par $- 15$ .

$200 x^{2} + 300 x + 400 x^{2} - 2000 x + 300 x - 1500$

Étape 1.1.6.7.19

Additionnez $- 2000 x$ et $300 x$ .

$200 x^{2} + 300 x + 400 x^{2} - 1700 x - 1500$

Étape 1.1.6.7.20

Additionnez $200 x^{2}$ et $400 x^{2}$ .

$600 x^{2} + 300 x - 1700 x - 1500$

Étape 1.1.6.7.21

Soustrayez $1700 x$ de $300 x$ .

$f' (x) = 600 x^{2} - 1400 x - 1500$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $600 x^{2} - 1400 x - 1500$ .

$600 x^{2} - 1400 x - 1500$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $600 x^{2} - 1400 x - 1500 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$600 x^{2} - 1400 x - 1500 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $100$ à partir de $600 x^{2} - 1400 x - 1500$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $100$ à partir de $600 x^{2}$ .

$100 (6 x^{2}) - 1400 x - 1500 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $100$ à partir de $- 1400 x$ .

$100 (6 x^{2}) + 100 (- 14 x) - 1500 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $100$ à partir de $- 1500$ .

$100 (6 x^{2}) + 100 (- 14 x) + 100 (- 15) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $100$ à partir de $100 (6 x^{2}) + 100 (- 14 x)$ .

$100 (6 x^{2} - 14 x) + 100 (- 15) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez $100$ à partir de $100 (6 x^{2} - 14 x) + 100 (- 15)$ .

$100 (6 x^{2} - 14 x - 15) = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $100 (6 x^{2} - 14 x - 15) = 0$ par $100$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $100 (6 x^{2} - 14 x - 15) = 0$ par $100$ .

$\frac{100 (6 x^{2} - 14 x - 15)}{100} = \frac{0}{100}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{100 (6 x^{2} - 14 x - 15)}{100} = \frac{0}{100}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $6 x^{2} - 14 x - 15$ par $1$ .

$6 x^{2} - 14 x - 15 = \frac{0}{100}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $100$ .

$6 x^{2} - 14 x - 15 = 0$

Étape 2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = - 14$ et $c = - 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 15)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 6 \cdot - 15}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 15$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 \cdot - 15}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 15$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 360}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $196$ et $360$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{556}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $556$ comme $2^{2} \cdot 139$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $556$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (139)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 139}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{12}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{12}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{139}}{6}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 6 \cdot - 15}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 15$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 \cdot - 15}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 15$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 360}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.3

Additionnez $196$ et $360$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{556}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $556$ comme $2^{2} \cdot 139$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $556$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (139)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 139}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{12}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{12}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{139}}{6}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{7 + \sqrt{139}}{6}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 6 \cdot - 15}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 15$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 \cdot - 15}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 15$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 360}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.8.1.3

Additionnez $196$ et $360$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{556}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $556$ comme $2^{2} \cdot 139$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $556$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{4 (139)}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 139}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{2 \cdot 6}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{12}$

Étape 2.8.3

Simplifiez $\frac{14 \pm 2 \sqrt{139}}{12}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{139}}{6}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{7 - \sqrt{139}}{6}$

Étape 2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{7 + \sqrt{139}}{6}, \frac{7 - \sqrt{139}}{6}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{7 + \sqrt{139}}{6}, \frac{7 - \sqrt{139}}{6}$ .

$\frac{7 + \sqrt{139}}{6}, \frac{7 - \sqrt{139}}{6}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{7 - \sqrt{139}}{6}) \cup (\frac{7 - \sqrt{139}}{6}, \frac{7 + \sqrt{139}}{6}) \cup (\frac{7 + \sqrt{139}}{6}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{7 - \sqrt{139}}{6})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.7983044$ dans l’expression.

$f' (- 1.7983044) = 600 {(- 1.7983044)}^{2} - 1400 \cdot - 1.7983044 - 1500$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.7983044$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.7983044) = 600 \cdot 3.23389871 - 1400 \cdot - 1.7983044 - 1500$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $600$ par $3.23389871$ .

$f' (- 1.7983044) = 1940.33922903 - 1400 \cdot - 1.7983044 - 1500$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 1400$ par $- 1.7983044$ .

$f' (- 1.7983044) = 1940.33922903 + 2517.62616 - 1500$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $1940.33922903$ et $2517.62616$ .

$f' (- 1.7983044) = 4457.96538903 - 1500$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $1500$ de $4457.96538903$ .

$f' (- 1.7983044) = 2957.96538903$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $2957.96538903$ .

$2957.96538903$

Étape 5.3

Sur $x = - 1.7983044$ la dérivée est $2957.96538903$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, \frac{7 - \sqrt{139}}{6})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{7 - \sqrt{139}}{6})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.7983044, \frac{7 + \sqrt{139}}{6})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1666666$ dans l’expression.

$f' (1.1666666) = 600 {(1.1666666)}^{2} - 1400 \cdot 1.1666666 - 1500$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $1.1666666$ à la puissance $2$ .

$f' (1.1666666) = 600 \cdot 1.36111095 - 1400 \cdot 1.1666666 - 1500$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $600$ par $1.36111095$ .

$f' (1.1666666) = 816.66657\overline{3} - 1400 \cdot 1.1666666 - 1500$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 1400$ par $1.1666666$ .

$f' (1.1666666) = 816.66657\overline{3} - 1633.33324 - 1500$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $1633.33324$ de $816.66657\overline{3}$ .

$f' (1.1666666) = - 816.\overline{6} - 1500$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $1500$ de $- 816.\overline{6}$ .

$f' (1.1666666) = - 2316.\overline{6}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 2316.\overline{6}$ .

$- 2316.\overline{6}$

Étape 6.3

Sur $x = 1.1666666$ la dérivée est $- 2316.\overline{6}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.7983044, \frac{7 + \sqrt{139}}{6})$ .

Diminue sur $(\frac{7 - \sqrt{139}}{6}, \frac{7 + \sqrt{139}}{6})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{7 + \sqrt{139}}{6}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4.1316376$ dans l’expression.

$f' (4.1316376) = 600 {(4.1316376)}^{2} - 1400 \cdot 4.1316376 - 1500$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4.1316376$ à la puissance $2$ .

$f' (4.1316376) = 600 \cdot 17.07042925 - 1400 \cdot 4.1316376 - 1500$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $600$ par $17.07042925$ .

$f' (4.1316376) = 10242.25755464 - 1400 \cdot 4.1316376 - 1500$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1400$ par $4.1316376$ .

$f' (4.1316376) = 10242.25755464 - 5784.29264 - 1500$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $5784.29264$ de $10242.25755464$ .

$f' (4.1316376) = 4457.96491464 - 1500$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1500$ de $4457.96491464$ .

$f' (4.1316376) = 2957.96491464$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2957.96491464$ .

$2957.96491464$

Étape 7.3

Sur $x = 4.1316376$ la dérivée est $2957.96491464$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{7 + \sqrt{139}}{6}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{7 + \sqrt{139}}{6}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, \frac{7 - \sqrt{139}}{6}), (\frac{7 + \sqrt{139}}{6}, \infty)$

Diminue sur : $(\frac{7 - \sqrt{139}}{6}, \frac{7 + \sqrt{139}}{6})$

Étape 9