Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ comme une équation.

$y = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1 + \sqrt{3 + 6 y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + \sqrt{3 + 6 y} = x$ .

$1 + \sqrt{3 + 6 y} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 + 6 y} = x - 1$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 + 6 y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 + 6 y}$ comme ${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 + 6 y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$3 + 6 y = {(x - 1)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$3 + 6 y = (x - 1) (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 + 6 y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 + 6 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 + 6 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 + 6 y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - x + 1$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$6 y = x^{2} - 2 x + 1 - 3$

Étape 3.5.1.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$6 y = x^{2} - 2 x - 2$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $6 y = x^{2} - 2 x - 2$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $6 y = x^{2} - 2 x - 2$ par $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{6} + \frac{- 2}{6}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{2 (3)} + \frac{- 2}{6}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{6}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- x}{3} + \frac{- 2}{6}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{- 2}{6}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

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Étape 3.5.2.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 (- 1)}{6}$

Étape 3.5.2.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.2.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Étape 3.5.2.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} - \frac{1 + \sqrt{3 + 6 x}}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 + 6 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 + 6 x$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1) + 6 x}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 x)}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) - 1}{3}$

Étape 5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{3 (1 + 2 x)} - 1}{3}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 1 - \sqrt{3 (1 + 2 x)} - 1}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{3}$

Étape 5.2.5.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 + 6 x$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1) + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 x)})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.2

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.3

Développez $(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + \sqrt{3 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.6.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.2

Multipliez $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.3

Multipliez $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.4

Multipliez $\sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

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Étape 5.2.6.4.1.4.1

Élevez $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.4.2

Élevez $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{1 + 1}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{2}$ comme $3 (1 + 2 x)$ .

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Étape 5.2.6.4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ comme ${(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {({(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 (1 + 2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.5.5

Simplifiez

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 (1 + 2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 \cdot 1 + 3 (2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 + 3 (2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.1.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{4 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.4.3

Additionnez $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ et $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.5

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x$ et $6$ .

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Étape 5.2.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3 (1 + 2 x)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.5.4

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 2 (3 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 2 (3 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.5.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.6.5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{2 (3)} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

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Étape 5.2.6.6.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.6.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

Étape 5.2.6.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (\sqrt{3 (2 x + 1)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

Étape 5.2.6.6.4

Réécrivez $- 1 (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})$ comme $- (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

Étape 5.2.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} - \frac{2 + \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

Étape 5.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 1 \cdot 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.9

Associez les termes opposés dans $2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

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Étape 5.2.9.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{0 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.9.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{\sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.10

Soustrayez $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ de $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

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Étape 5.2.10.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x + \sqrt{3 (2 x + 1)} - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

Étape 5.2.10.2

Soustrayez $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ de $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.11

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.12.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1) + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez

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Étape 5.3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.3.2

Multipliez $2 (- \frac{x}{3})$ .

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Étape 5.3.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - 2 \frac{x}{3} + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.3.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + 2 (- \frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.3.3

Multipliez $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 5.3.3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} - 2 (\frac{1}{3}))}$

Étape 5.3.3.3.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 2}{3})}$

Étape 5.3.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3})}$

Étape 5.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3})}$

Étape 5.3.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{3} - \frac{2}{3})}$

Étape 5.3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 - 2}{3})}$

Étape 5.3.3.7

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})}$

Étape 5.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 x + 1}{3})}$

Étape 5.3.3.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{3})}$

Étape 5.3.3.9.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 5.3.3.9.3

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{3})}$

Étape 5.3.3.9.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{{(x - 1)}^{2}}{3})}$

Étape 5.3.3.10

Associez $3$ et $\frac{{(x - 1)}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}}$

Étape 5.3.3.11

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.11.1

Réduisez l’expression $\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.11.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}}$

Étape 5.3.3.11.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{1}}$

Étape 5.3.3.11.2

Divisez ${(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.3.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + x - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$