Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{7} \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.3.1

Associez $x^{7}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{7}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{7}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.3.2.2.5

Divisez $x^{6}$ par $1$ .

$x^{6} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})$

Étape 1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$ .

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $x^{6}$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$ par $7 x^{6}$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$ par $7 x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6} \ln (x)}{7 x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{6} \ln (x)}{7 x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{6} \ln (x)}{x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{6}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{6} \ln (x)}{x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{6}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) = \frac{- 1}{7}$

Étape 2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (x) = - \frac{1}{7}$

Étape 2.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{7}}$

Étape 2.5

Réécrivez $\ln (x) = - \frac{1}{7}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{7}} = x$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- \frac{1}{7}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{7}}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 4.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Étape 6

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.43343895$ dans l’expression.

$f' (0.43343895) = {(0.43343895)}^{6} + 7 {(0.43343895)}^{6} \ln (0.43343895)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.43343895$ à la puissance $6$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 7 {(0.43343895)}^{6} \ln (0.43343895)$

Étape 7.2.1.2

Élevez $0.43343895$ à la puissance $6$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 7 \cdot (0.00663082 \ln (0.43343895))$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $7$ par $0.00663082$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 0.04641578 \ln (0.43343895)$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez $0.04641578 \ln (0.43343895)$ en déplaçant $0.04641578$ dans le logarithme.

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + \ln ({0.43343895}^{0.04641578})$

Étape 7.2.1.5

Élevez $0.43343895$ à la puissance $0.04641578$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + \ln (0.96193943)$

Étape 7.2.2

Additionnez $0.00663082$ et $\ln (0.96193943)$ .

$f' (0.43343895) = - 0.03217296$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.03217296$ .

$- 0.03217296$

Étape 7.3

Sur $x = 0.43343895$ la dérivée est $- 0.03217296$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ .

Diminue sur $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.8668779$ dans l’expression.

$f' (1.8668779) = {(1.8668779)}^{6} + 7 {(1.8668779)}^{6} \ln (1.8668779)$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $1.8668779$ à la puissance $6$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 7 {(1.8668779)}^{6} \ln (1.8668779)$

Étape 9.2.1.2

Élevez $1.8668779$ à la puissance $6$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 7 \cdot (42.33460261 \ln (1.8668779))$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $7$ par $42.33460261$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 296.34221828 \ln (1.8668779)$

Étape 9.2.1.4

Simplifiez $296.34221828 \ln (1.8668779)$ en déplaçant $296.34221828$ dans le logarithme.

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + \ln ({1.8668779}^{296.34221828})$

Étape 9.2.2

Additionnez $42.33460261$ et $\ln ({1.8668779}^{296.34221828})$ .

$f' (1.8668779) = 227.33140751$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $227.33140751$ .

$227.33140751$

Étape 9.3

Sur $x = 1.8668779$ la dérivée est $227.33140751$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Diminue sur : $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$

Étape 11