Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 36 \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 36 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 \ln (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 36 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 36 \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.3

Associez $- 36$ et $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 36}{x}$

Étape 1.1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 4 x - \frac{36}{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x - \frac{36}{x}$ .

$4 x - \frac{36}{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x - \frac{36}{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x - \frac{36}{x} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $4 x - \frac{36}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $4 x - \frac{36}{x} = 0$ par $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{36}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{36}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - \frac{36}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{36}{x}$ dans le numérateur.

$4 x^{2} + \frac{- 36}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} + \frac{- 36}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{2} - 36 = 0 x$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$4 x^{2} - 36 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $36$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 36$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 36$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 36$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{36}{4}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{36}{4}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{36}{4}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Divisez $36$ par $4$ .

$x^{2} = 9$

Étape 2.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.4.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $3, - 3$ .

$3, - 3$

Étape 4

Définissez le dénominateur dans $\frac{36}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 6

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{- 3}{2}) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{- 3}{2})) - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot - 3 - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - \frac{36}{- \frac{3}{2}}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (36 (- \frac{2}{3}))$

Étape 7.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (36 (\frac{- 2}{3}))$

Étape 7.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (3 (12) (\frac{- 2}{3}))$

Étape 7.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (3 \cdot (12 (\frac{- 2}{3})))$

Étape 7.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 - (12 \cdot - 2)$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 + 24$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 6 + 24$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 6$ et $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 18$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $18$ .

$18$

Étape 8

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, 3)$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3}{2}) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{3}{2}) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Étape 9.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{3}{2})) - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Étape 9.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 3 - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - \frac{36}{\frac{3}{2}}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (36 (\frac{2}{3}))$

Étape 9.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (3 (12) (\frac{2}{3}))$

Étape 9.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (3 \cdot (12 (\frac{2}{3})))$

Étape 9.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - (12 \cdot 2)$

Étape 9.2.1.5

Multipliez $12$ par $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - 1 \cdot 24$

Étape 9.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 - 24$

Étape 9.2.2

Soustrayez $24$ de $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 18$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- 18$ .

$- 18$

Étape 9.3

Sur $x = \frac{3}{2}$ la dérivée est $- 18$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 3)$ .

Diminue sur $(0, 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, 3), (3, \infty)$

Étape 11

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 4 (4) - \frac{36}{4}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (4) = 16 - \frac{36}{4}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $36$ par $4$ .

$f' (4) = 16 - 1 \cdot 9$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f' (4) = 16 - 9$

Étape 11.2.2

Soustrayez $9$ de $16$ .

$f' (4) = 7$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $7$ .

$7$

Étape 11.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $7$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 12

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(3, \infty)$

Diminue sur : $(0, 3)$

Étape 13