Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{x^{2} - 25}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{2} - 25}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 25}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 25}]$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 25}$ comme ${(x^{2} - 25)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 25$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 25$ .

$2 (- {(x^{2} - 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 ({(x^{2} - 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 2 {(x^{2} - 25)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 25)}^{- 2} x$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Étape 1.1.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.5.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Étape 1.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 25)}^{2}} x$

Étape 1.1.5.3

Associez $x$ et $\frac{4}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.5.4

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 25)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

${(x^{2} - 5^{2})}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

${((x + 5) (x - 5))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 5) (x - 5)$ .

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x + 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x + 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x + 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.2.4

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.4.1

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2

Résolvez ${(x - 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.2.4.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 5, x = 5$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = - \frac{4 (- 6)}{{({(- 6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{{({(- 6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{{(36 - 25)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $25$ de $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{11^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 24}{121}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 6) = \frac{24}{121}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{24}{121}$ .

$\frac{24}{121}$

Étape 6.3

Sur $x = - 6$ la dérivée est $\frac{24}{121}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 5)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 5)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 5, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{4 (- \frac{5}{2})}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 4 (\frac{5}{2})}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- \frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 7.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 25)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(1 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 25)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25)}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Pour écrire $- 25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Associez $- 25$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} + \frac{- 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.9.1

Multipliez $- 25$ par $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 100}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.9.2

Soustrayez $100$ de $25$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 75}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{75}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.11

Appliquez la règle de produit à $- \frac{75}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{75}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{75^{2}}{4^{2}})}$

Étape 7.2.2.14

Élevez $75$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{4^{2}})}$

Étape 7.2.2.15

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{16})}$

Étape 7.2.2.16

Multipliez $\frac{5625}{16}$ par $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 20}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $- 20$ par $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 10}{\frac{5625}{16}}$

Étape 7.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 10 (\frac{16}{5625}))$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 (- 2) (\frac{16}{5625}))$

Étape 7.2.5.2

Factorisez $5$ à partir de $5625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 \cdot (- 2 \frac{16}{5 \cdot 1125}))$

Étape 7.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (5 \cdot (- 2 \frac{16}{5 \cdot 1125}))$

Étape 7.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 2 (\frac{16}{1125}))$

Étape 7.2.6

Associez $- 2$ et $\frac{16}{1125}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 2 \cdot 16}{1125}$

Étape 7.2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.7.1

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 32}{1125}$

Étape 7.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{32}{1125}$

Étape 7.2.8

La réponse finale est $\frac{32}{1125}$ .

$\frac{32}{1125}$

Étape 7.3

Sur $x = - \frac{5}{2}$ la dérivée est $\frac{32}{1125}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 5, 0)$ .

Augmente sur $(- 5, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{4 (\frac{5}{2})}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Associez $4$ et $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{({(\frac{5}{2})}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{2^{2}} - 25)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Pour écrire $- 25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} - 25 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Associez $- 25$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25}{4} + \frac{- 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 25 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.7.1

Multipliez $- 25$ par $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{25 - 100}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.7.2

Soustrayez $100$ de $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 75}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{75}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.9

Appliquez la règle de produit à $- \frac{75}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 {(\frac{75}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{75}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{75^{2}}{4^{2}})}$

Étape 8.2.2.12

Élevez $75$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{4^{2}})}$

Étape 8.2.2.13

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{1 (\frac{5625}{16})}$

Étape 8.2.2.14

Multipliez $\frac{5625}{16}$ par $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{4 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{20}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $20$ par $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{10}{\frac{5625}{16}}$

Étape 8.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{5}{2}) = - (10 (\frac{16}{5625}))$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 (2) (\frac{16}{5625}))$

Étape 8.2.5.2

Factorisez $5$ à partir de $5625$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 \cdot (2 (\frac{16}{5 \cdot 1125})))$

Étape 8.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = - (5 \cdot (2 (\frac{16}{5 \cdot 1125})))$

Étape 8.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{5}{2}) = - (2 (\frac{16}{1125}))$

Étape 8.2.6

Associez $2$ et $\frac{16}{1125}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{2 \cdot 16}{1125}$

Étape 8.2.7

Multipliez $2$ par $16$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{32}{1125}$

Étape 8.2.8

La réponse finale est $- \frac{32}{1125}$ .

$- \frac{32}{1125}$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{5}{2}$ la dérivée est $- \frac{32}{1125}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 5)$ .

Diminue sur $(0, 5)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - \frac{4 (6)}{{({(6)}^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$f' (6) = - \frac{24}{{(6^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = - \frac{24}{{(36 - 25)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $25$ de $36$ .

$f' (6) = - \frac{24}{11^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = - \frac{24}{121}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- \frac{24}{121}$ .

$- \frac{24}{121}$

Étape 9.3

Sur $x = 6$ la dérivée est $- \frac{24}{121}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(5, \infty)$ .

Diminue sur $(5, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

Diminue sur : $(0, 5), (5, \infty)$

Étape 11