Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{1 - x^{2}}$ comme ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.3.5

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.1.3.7

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Étape 1.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1.1

Associez $2$ et $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Étape 1.1.5.1.2

Associez $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(- x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

${(- (x^{2}) + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

${(- (x^{2}) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 1)$ .

${(- (x^{2} - 1))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(- (x^{2} - 1^{2}))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

${(- ((x + 1) (x - 1)))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

${(- (x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $- (x + 1) (x - 1)$ .

${(- (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $- (x + 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.2.4

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2)}{{(- {(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- {(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 1 \cdot 4 + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 4 + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{{(- 3)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{9}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{4}{9}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{4}{9}$ .

$- \frac{4}{9}$

Étape 6.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- \frac{4}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 (- \frac{1}{2})}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 (\frac{1}{2})}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{({(- 1)}^{3} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(\frac{- 1 + 4}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Étape 7.2.2.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Étape 7.2.2.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{9}{4^{2}}}$

Étape 7.2.2.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 2}{2}}{\frac{9}{16}}$

Étape 7.2.3

Divisez $- 2$ par $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{\frac{9}{16}}$

Étape 7.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{16}{9}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $- \frac{16}{9}$ .

$- \frac{16}{9}$

Étape 7.3

Sur $x = - \frac{1}{2}$ la dérivée est $- \frac{16}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1, 0)$ .

Diminue sur $(- 1, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2})}{{(- {(\frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- {(\frac{1}{2})}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{2^{2}} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + 1)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(\frac{- 1 + 4}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.6

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}$

Étape 8.2.2.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Étape 8.2.2.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{9}{4^{2}}}$

Étape 8.2.2.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{9}{16}}$

Étape 8.2.3

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\frac{9}{16}}$

Étape 8.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 (\frac{16}{9})$

Étape 8.2.5

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{16}{9}$

Étape 8.2.6

La réponse finale est $\frac{16}{9}$ .

$\frac{16}{9}$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $\frac{16}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 1)$ .

Augmente sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{2 (2)}{{(- {(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 2^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 1 \cdot 4 + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 4 + 1)}^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

Étape 9.2.2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{9}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9}$

Étape 9.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $\frac{4}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, 1), (1, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Étape 11