Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (6 - x) e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 6 - x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$(6 - x) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$(6 - x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(6 - x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$(6 - x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 - x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(6 - x) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(6 - x) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $(6 - x) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((6 - x) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.3.3.3

Réécrivez $- 1 (6 - x)$ comme $- (6 - x)$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [6 - x]$

Étape 1.1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.3.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (6 - x) e^{- x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 1.1.3.9.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- (6 - x) e^{- x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 1.1.3.9.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- (6 - x) e^{- x} - e^{- x}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 6 - - x) e^{- x} - e^{- x}$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 6 e^{- x} - - x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 1.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 e^{- x} - - x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 1.1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 6 e^{- x} + 1 x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 1.1.4.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 6 e^{- x} + x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 1.1.4.3.4

Soustrayez $e^{- x}$ de $- 6 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Étape 1.1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- x} x - 7 e^{- x}$

Étape 1.1.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} x - 7 e^{- x}$ .

$f' (x) = x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x e^{- x} - 7 e^{- x}$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x e^{- x} - 7 e^{- x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x e^{- x} - 7 e^{- x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x e^{- x} - 7 e^{- x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x e^{- x}$ .

$e^{- x} x - 7 e^{- x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- 7 e^{- x}$ .

$e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 7 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 7$ .

$e^{- x} (x - 7) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x} (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 7$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $7$ .

$7$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = x e^{- x} - 7 e^{- x}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = (6 - x) e^{- x}$ augmente et diminue est $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 7)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = (6) \cdot e^{- (6)} - 7 e^{- (6)}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (6) = 6 \cdot e^{- 6} - 7 e^{- (6)}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = 6 \cdot \frac{1}{e^{6}} - 7 e^{- (6)}$

Étape 5.2.1.3

Associez $6$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 e^{- (6)}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 e^{- 6}$

Étape 5.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - 7 \frac{1}{e^{6}}$

Étape 5.2.1.6

Associez $- 7$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} + \frac{- 7}{e^{6}}$

Étape 5.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (6) = \frac{6}{e^{6}} - \frac{7}{e^{6}}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (6) = \frac{6 - 7}{e^{6}}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.2.1

Soustrayez $7$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{- 1}{e^{6}}$

Étape 5.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (6) = - \frac{1}{e^{6}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{e^{6}}$ .

$- \frac{1}{e^{6}}$

Étape 5.3

Sur $x = 6$ la dérivée est $- \frac{1}{e^{6}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 7)$ .

Diminue sur $(- \infty, 7)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = (8) \cdot e^{- (8)} - 7 e^{- (8)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f' (8) = 8 \cdot e^{- 8} - 7 e^{- (8)}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (8) = 8 \cdot \frac{1}{e^{8}} - 7 e^{- (8)}$

Étape 6.2.1.3

Associez $8$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 e^{- (8)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 e^{- 8}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - 7 \frac{1}{e^{8}}$

Étape 6.2.1.6

Associez $- 7$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} + \frac{- 7}{e^{8}}$

Étape 6.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (8) = \frac{8}{e^{8}} - \frac{7}{e^{8}}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (8) = \frac{8 - 7}{e^{8}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $7$ de $8$ .

$f' (8) = \frac{1}{e^{8}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{1}{e^{8}}$

Étape 6.3

Sur $x = 8$ la dérivée est $\frac{1}{e^{8}}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(7, \infty)$ .

Augmente sur $(7, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(7, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 7)$

Étape 8