Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) + 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (x) + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $\cos (x)$ et $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\cos (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \cos (x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \sin (x) + 8$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + π n - 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Étape 5.2

La réponse finale est $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Étape 5.3

Simplifiez

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Étape 5.4

Sur $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ la dérivée est $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + π n + 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Étape 6.2

La réponse finale est $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Étape 6.3

Simplifiez

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Étape 6.4

Sur $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ la dérivée est $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$

Étape 8