Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

$\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 191}]$ .

$0 + 36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 191}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 191$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 191]}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 191]}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 191$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [191]$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [191])}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [191])}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Comme $191$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $191$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + 36 \frac{(x^{2} + 191) (2 x) - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 191$ .

$0 + 36 \frac{2 \cdot (x^{2} + 191) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.12

Additionnez $1$ et $2$ .

$0 + 36 \frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.2.13

Associez $36$ et $\frac{2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$0 + \frac{36 (2 (x^{2} + 191) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 + \frac{36 ((2 x^{2} + 2 \cdot 191) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$0 + \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot 191 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$0 + \frac{36 (2 x^{2} x) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 + \frac{36 (2 (x^{1} x^{2})) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + \frac{36 (2 x^{1 + 2}) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$0 + \frac{36 (2 x^{3}) + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.4

Multipliez $2$ par $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 36 (2 \cdot 191 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.5

Multipliez $2$ par $191$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 36 (382 x) + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.6

Multipliez $382$ par $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 13752 x + 36 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.7

Multipliez $- 2$ par $36$ .

$0 + \frac{72 x^{3} + 13752 x - 72 x^{3}}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.8

Soustrayez $72 x^{3}$ de $72 x^{3}$ .

$0 + \frac{13752 x + 0}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.9

Additionnez $13752 x$ et $0$ .

$0 + \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.10

Additionnez $0$ et $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ .

$\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$13752 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $13752 x = 0$ par $13752$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $13752 x = 0$ par $13752$ .

$\frac{13752 x}{13752} = \frac{0}{13752}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $13752$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{13752 x}{13752} = \frac{0}{13752}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{13752}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $13752$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{13752 x}{{(x^{2} + 191)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 32 + \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 191}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{13752 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $13752$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{{({(- 1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{{(1 + 191)}^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $1$ et $191$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{192^{2}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $192$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 13752}{36864}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 13752$ et $36864$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $72$ à partir de $- 13752$ .

$f' (- 1) = \frac{72 (- 191)}{36864}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $72$ à partir de $36864$ .

$f' (- 1) = \frac{72 \cdot - 191}{72 \cdot 512}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{72 \cdot - 191}{72 \cdot 512}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{- 191}{512}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{191}{512}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{191}{512}$ .

$- \frac{191}{512}$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{191}{512}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{13752 (1)}{{({(1)}^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $13752$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{13752}{{(1^{2} + 191)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{13752}{{(1 + 191)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $1$ et $191$ .

$f' (1) = \frac{13752}{192^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $192$ à la puissance $2$ .

$f' (1) = \frac{13752}{36864}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à $13752$ et $36864$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $72$ à partir de $13752$ .

$f' (1) = \frac{72 (191)}{36864}$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $72$ à partir de $36864$ .

$f' (1) = \frac{72 \cdot 191}{72 \cdot 512}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = \frac{72 \cdot 191}{72 \cdot 512}$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = \frac{191}{512}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{191}{512}$ .

$\frac{191}{512}$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{191}{512}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0)$

Étape 8