Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Étape 1.3

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Étape 3.5.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)}$

Étape 3.9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)}$

Étape 3.10

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2}{x^{2} + 1} x}$

Étape 3.11

Associez $\frac{2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} 4 \frac{x^{2} + 1}{2 x}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez $4$ et $\frac{x^{2} + 1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} + 1)}{2 x}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x^{2} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 (x)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} + 1)}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 6.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 6.1.2.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 6.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{1}$

Étape 6.4

Divisez $4 x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4 x$

Étape 7

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\infty$