Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{6 - x - x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 6 - x - x^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} x^{2}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{6 - lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} x^{2}}$

Étape 1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{6 - lim_{x \to - 3} x - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{6 + 3 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{6 + 3 - {(- 3)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{6 + 3 - 1 \cdot 9}$

Étape 1.3.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{6 + 3 - 9}$

Étape 1.3.5.2

Additionnez $6$ et $3$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Étape 1.3.5.3

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.5.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{6 - x - x^{2}} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Étape 3.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Étape 3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.8.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 - (2 x)}$

Étape 3.9.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{0 - 1 - 2 x}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{- 1 - 2 x}$

Étape 3.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{- 2 x - 1}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} \frac{x}{- 2 x - 1}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} - 2 x - 1}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{- lim_{x \to - 3} 2 x - lim_{x \to - 3} 1}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{- 2 lim_{x \to - 3} x - lim_{x \to - 3} 1}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{- 2 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 1}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$2 \frac{- 3}{- 2 lim_{x \to - 3} x - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$2 \frac{- 3}{- 2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$2 \frac{- 3}{6 - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{- 3}{6 - 1}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $1$ de $6$ .

$2 (\frac{- 3}{5})$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{3}{5})$

Étape 10.3

Multipliez $2 (- \frac{3}{5})$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\frac{3}{5})$

Étape 10.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{5}$

Étape 10.3.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6}{5}$

Étape 10.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{5}$