Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$

Étape 1

Réécrivez $x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$ comme $\frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Étape 2.1.2.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Étape 2.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{1}{2 x^{3}})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.5

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} (- 3 x^{- 4})}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.8

Associez $- 3$ et $\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} x^{- 4}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.9

Associez $\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ et $x^{- 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{- 4}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.10

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Étape 2.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 x^{- 4}}$

Étape 2.3.13

Simplifiez

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Étape 2.3.13.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Étape 2.3.13.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Étape 2.3.13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} - \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} (- \frac{x^{4}}{3})$

Étape 2.5

Combinez les facteurs.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \frac{x^{4}}{3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{3}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ par $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4} \cdot 3}$

Étape 2.5.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{6 x^{4}}$

Étape 2.6

Réduisez.

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{6 x^{4}}$

Étape 2.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Étape 2.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Étape 2.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Étape 2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{2 x^{3}})$

Étape 3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})$

Étape 3.3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (0)$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$