Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 - x)}{10 x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 3 (e^{x} - 1 - x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - 1 - x}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 (lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 (e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 (e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 (e^{0} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 (e^{0} - 1 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{3 (1 - 1 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 (1 - 1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{3 (0 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.2.6.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{10 lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{10 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 - x)}{10 x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [3 (e^{x} - 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [3 (e^{x} - 1 - x)]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (e^{x} - 1 - x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - x]}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.6

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} + 3 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.10.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{\frac{d}{d x} [10 x^{3}]}$

Étape 3.11

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{3}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{10 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{10 (3 x^{2})}$

Étape 3.13

Multipliez $3$ par $10$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 e^{x} - 3}{30 x^{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $3 e^{x} - 3$ et $30$ .

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Étape 4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x}) - 3}{30 x^{2}}$

Étape 4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x}) + 3 (- 1)}{30 x^{2}}$

Étape 4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (e^{x}) + 3 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{30 x^{2}}$

Étape 4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $30 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{3 (10 x^{2})}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (e^{x} - 1)}{3 (10 x^{2})}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - 1}{10 x^{2}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} e^{x} - lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Étape 5.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Étape 5.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0^{+}} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Étape 5.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Étape 5.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 10 x^{2}}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.3.1.1

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{10 lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Étape 5.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{10 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{10 \cdot 0}$

Étape 5.1.3.3.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} - 1}{10 x^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Étape 5.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Étape 5.3.5

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [10 x^{2}]}$

Étape 5.3.6

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{10 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{10 (2 x)}$

Étape 5.3.8

Multipliez $2$ par $10$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{20 x}$

Étape 6

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $20 x$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$\infty$