Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.2.1.3

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 \sin (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{4 \sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{4 \sin (π)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.2.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.3

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Étape 1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.1.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Étape 1.3.5.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Étape 1.3.5.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Étape 1.3.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Étape 1.3.5.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (π x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.4

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.5

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.7

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) π}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.8

Réorganisez les facteurs de $4 \cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (π x) + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

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Étape 3.10.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 3.10.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.10.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + 1}$

Étape 3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Étape 4

Placez le terme $4 π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 π lim_{x \to 1} \frac{\cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 π \frac{lim_{x \to 1} \cos (π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$4 π \frac{\cos (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Étape 7

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- lim_{x \to 1} π \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Étape 9

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π lim_{x \to 1} \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Étape 10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Étape 11

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Étape 12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$4 π \frac{\cos (π)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Étape 14.1.2

$4 π \frac{- \cos (0)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Étape 14.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$4 π \frac{- 1 \cdot 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Étape 14.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π) + 1}$

Étape 14.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (0) + 1}$

Étape 14.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \cdot 0 + 1}$

Étape 14.2.4

Multipliez $- π \cdot 0$ .

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Étape 14.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$4 π \frac{- 1}{0 π + 1}$

Étape 14.2.4.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$4 π \frac{- 1}{0 + 1}$

Étape 14.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$4 π \frac{- 1}{1}$

Étape 14.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$4 π \cdot - 1$

Étape 14.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 π$