Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{0} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{0} + 0)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.2.5.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{0}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{0}{0} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = e^{x} + x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x} + x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} + x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.6.2

Multipliez $e^{x} + 1$ par $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1 = lim_{x \to 0} 7$

Étape 5

Multipliez $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 6

Évaluez la limite de $\ln (y)$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 9

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 12

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} 7$

Étape 13

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = 7$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = 7$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x} = 7$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = 7$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\ln (y) = \frac{1 + 1}{e^{0} + 0} = 7$

Étape 15.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (y) = \frac{2}{e^{0} + 0} = 7$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\ln (y) = \frac{2}{1 + 0} = 7$

Étape 15.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (y) = \frac{2}{1} = 7$

Étape 15.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (y) = 2 = 7$