Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Étape 1.2

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Étape 1.3

Lorsque $x$ approche de $- \infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Étape 3.5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ comme ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 16 x^{2} - 9 x$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{{(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.13

Placez ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Étape 3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Étape 3.15

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Étape 3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Étape 3.17

Multipliez $2$ par $16$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Étape 3.18

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \cdot 1)}$

Étape 3.20

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)}$

Étape 3.21

Simplifiez

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Étape 3.21.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{(32 x - 9) \frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.21.2

Multipliez $32 x - 9$ par $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{32 x - 9}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}{32 x - 9}$

Étape 5

Réécrivez ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Étape 6

Combinez les facteurs.

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Étape 6.1

Associez $3$ et $\frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 (2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x})}{32 x - 9}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $16 x^{2} - 9 x$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $16 x^{2}$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x - 9 x}}{32 x - 9}$

Étape 7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x + x \cdot - 9}}{32 x - 9}$

Étape 7.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (16 x) + x \cdot - 9$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x - 9)}}{32 x - 9}$

Étape 8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{\frac{32 x}{x} + \frac{- 9}{x}}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Étape 10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Étape 10.3

Réécrivez l’expression.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$6 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 11.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 11.3

Placez la limite sous le radical.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 12

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13

Évaluez la limite.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13.1.1.2

Divisez $16$ par $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13.5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 13.6

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 14

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 15

Évaluez la limite.

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Étape 15.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $32$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

Étape 15.4

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 16

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 \cdot 0}$

Étape 17

Simplifiez la réponse.

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Étape 17.1

Divisez $16 - 9 \cdot 0$ par $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 - 9 \cdot 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

Étape 17.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.2.1

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 + 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

Étape 17.2.2

Additionnez $16$ et $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16}}{32 - 9 \cdot 0}$

Étape 17.2.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$6 \frac{- \sqrt{4^{2}}}{32 - 9 \cdot 0}$

Étape 17.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 - 9 \cdot 0}$

Étape 17.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 17.3.1

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 + 0}$

Étape 17.3.2

Additionnez $32$ et $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32}$

Étape 17.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$6 (\frac{- 4}{32})$

Étape 17.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{- 4}{32}$

Étape 17.5.2

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

Étape 17.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

Étape 17.5.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{- 4}{16})$

Étape 17.6

Associez $3$ et $\frac{- 4}{16}$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{16}$

Étape 17.7

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{- 12}{16}$

Étape 17.8

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $16$ .

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Étape 17.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{4 (- 3)}{16}$

Étape 17.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

Étape 17.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

Étape 17.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{4}$

Étape 17.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4}$