Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{(9 - x^{2})}{\cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{9 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{9 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{9 - 3^{2}}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \cos (\frac{π}{2} x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 3} \frac{π}{2} x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $\frac{π}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2} \cdot 3)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $3$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π \cdot 3}{2})}$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 \cdot π}{2})}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{(9 - x^{2})}{\cos (\frac{π}{2} x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Étape 3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Étape 3.5

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{2} x)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{π}{2} x$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π}{2} x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π}{2} x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Étape 3.7

Associez $\frac{π}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} x]}$

Étape 3.8

Associez $\frac{π}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]}$

Étape 3.9

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \sin (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.10

Associez $\frac{π}{2}$ et $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1}$

Étape 3.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x}{- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 3} - 2 x (- \frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})})$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 3} 2 x \frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Étape 5.2

Associez $2$ et $\frac{2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$ .

$lim_{x \to 3} x \frac{2 \cdot 2}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 3} x \frac{4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Étape 5.4

Associez $x$ et $\frac{4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x \cdot 4}{π \sin (\frac{π x}{2})}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{4}{π}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4}{π} lim_{x \to 3} \frac{x}{\sin (\frac{π x}{2})}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sin (\frac{π x}{2})}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{\sin (lim_{x \to 3} \frac{π x}{2})}$

Étape 9

Placez le terme $\frac{π}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 3} x}{\sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3}{\sin (\frac{π}{2} lim_{x \to 3} x)}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{3}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Séparez les fractions.

$\frac{4}{π} (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)})$

Étape 11.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} \cdot 3)}$ à $\csc (\frac{π}{2} \cdot 3)$ .

$\frac{4}{π} (\frac{3}{1} \csc (\frac{π}{2} \cdot 3))$

Étape 11.3

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{π}{2} \cdot 3))$

Étape 11.4

Associez $\frac{π}{2}$ et $3$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{π \cdot 3}{2}))$

Étape 11.5

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{4}{π} (3 \csc (\frac{3 \cdot π}{2}))$

Étape 11.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$\frac{4}{π} (3 (- \csc (\frac{π}{2})))$

Étape 11.7

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{4}{π} (3 (- 1 \cdot 1))$

Étape 11.8

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 11.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{π} (3 \cdot - 1)$

Étape 11.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4}{π} \cdot - 3$

Étape 11.9

Multipliez $\frac{4}{π} \cdot - 3$ .

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Étape 11.9.1

Associez $\frac{4}{π}$ et $- 3$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{π}$

Étape 11.9.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{- 12}{π}$

Étape 11.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{π}$