Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{θ}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos^{2} (θ) - 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos^{2} (θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{θ \to 0} \cos (θ))}^{2} - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos^{2} (lim_{θ \to 0} θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{\cos^{2} (lim_{θ \to 0} θ) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{\cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos^{2} (θ) - 1$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{2 \cos (θ) (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.5

Additionnez $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ et $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Étape 4

Divisez $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ par $1$ .

$lim_{θ \to 0} - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 5

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$- 2 lim_{θ \to 0} \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$- 2 lim_{θ \to 0} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to 0} \sin (θ)$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{θ \to 0} θ) \cdot lim_{θ \to 0} \sin (θ)$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{θ \to 0} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to 0} θ)$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{θ \to 0} θ)$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0)$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0)$

Étape 10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0)$

Étape 10.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 \cdot 0$

Étape 10.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0$