Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 4 x - 7}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 4 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.6

Additionnez $4 x + 4$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 3.9.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 3.10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + 0}$

Étape 3.11

Additionnez $3 x^{2} + 6 x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6}{x}}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Étape 5.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Étape 7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Étape 9.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 \cdot 0}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun à $4 \cdot 0 + 4 \cdot 0$ et $3 + 6 \cdot 0$ .

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Étape 11.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Étape 11.1.2

Factorisez $3$ à partir de $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Étape 11.1.3

Factorisez $3$ à partir de $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Étape 11.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Étape 11.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 6 \cdot 0}$

Étape 11.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $6 \cdot 0$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 3 (2 \cdot 0)}$

Étape 11.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (2 \cdot 0)$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Étape 11.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Étape 11.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.2.2

Multipliez $0$ par $4$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Étape 11.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 11.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0$