Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Étape 1.2

Comme l’exposant $3 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{3 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Étape 1.3

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.6

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.8

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{1}{x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} x$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Étape 6

Comme l’exposant $3 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{3 x}$ approche de $\infty$ .

$3 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$3 \cdot \infty \cdot \infty$

Étape 7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.2.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\infty \cdot \infty$

Étape 7.2.2

L’infini fois l’infini est l’infini.

$\infty$