Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \tan^{-1} (\frac{\sqrt{1 + 4 x^{6}}}{1 - 2 x^{3}})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 4}}{0 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.1

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{- \sqrt{4}}{0 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{0 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 1 \cdot 2}{0 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{0 - 2}$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2}$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2}{- 2}$

Étape 1.2.4

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$1$

Étape 2

Remplacez $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{6}}}{1 - 2 x^{3}}$ par $t$ et laissez $t$ approcher de $1$ car $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{1 + 4 x^{6}}}{1 - 2 x^{3}} = 1$ .

$lim_{t \to 1} \tan^{-1} (t)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\tan^{-1} (\frac{- \sqrt{0 + 4}}{0 - 1 \cdot 2})$

Étape 3.1.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Additionnez $0$ et $4$ .

$\tan^{-1} (\frac{- \sqrt{4}}{0 - 1 \cdot 2})$

Étape 3.1.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\tan^{-1} (\frac{- \sqrt{2^{2}}}{0 - 1 \cdot 2})$

Étape 3.1.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\tan^{-1} (\frac{- 1 \cdot 2}{0 - 1 \cdot 2})$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\tan^{-1} (\frac{- 1 \cdot 2}{0 - 2})$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\tan^{-1} (\frac{- 1 \cdot 2}{- 2})$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\tan^{-1} (\frac{- 2}{- 2})$

Étape 3.1.2.4

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$\tan^{-1} (1)$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\tan^{-1} (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$