Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \ln (7 x) - \ln (x + 8)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to \infty} \ln (\frac{7 x}{x + 8})$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (lim_{x \to \infty} \frac{7 x}{x + 8})$

Étape 2.2

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 8})$

Étape 3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{8}{x}})$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{8}{x}})$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\ln (7 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{8}{x}})$

Étape 4.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Étape 4.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{8}{x}})$

Étape 4.7

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 8 \cdot 0})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$\ln (7 \frac{1}{1 + 0})$

Étape 6.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (7 (\frac{1}{1}))$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (7 \cdot 1)$

Étape 6.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$\ln (7)$